Страница:
<< 4 5 6 7 8 9
10 >> [Всего задач: 46]
Саша начертил квадрат размером 6×6 клеток и поочередно закрашивает в нём по одной клетке. Закрасив очередную клетку, он записывает в ней число – количество закрашенных клеток, соседних с ней. Закрасив весь квадрат, Саша складывает числа, записанные во всех клетках. Докажите, что в каком бы порядке Саша ни красил клетки, у него в итоге получится одна и та же сумма. (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.)
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
Клетки доски размером 5×5 раскрашены в шахматном порядке (угловые клетки – чёрные). По чёрным клеткам этой доски двигается фигура – мини-слон, оставляя след на каждой клетке, где он побывал, и больше в эту клетку не возвращаясь. Мини-слон может ходить либо в свободные от следов соседние (по диагонали) клетки, либо прыгать (также по диагонали) через одну клетку, в которой оставлен след, на свободную клетку за ней. Какое наибольшее количество клеток сможет посетить мини-слон?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
В команде сторожей у каждого есть разряд (натуральное число). Сторож N-го разряда N суток дежурит, потом N суток спит, снова N суток дежурит, N – спит, и так далее. Известно, что разряды любых двух сторожей различаются хотя бы в три раза. Может ли такая команда осуществлять ежедневное дежурство? (Приступить к дежурству сторожа могут не одновременно, в один день могут дежурить несколько сторожей.)
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
К Ивану на день рождения пришли $3 n$ гостей.
У Ивана есть $3 n$ цилиндров с написанными сверху буквами А, Б и В, по $n$ штук каждого типа.
Иван хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или больше) так,
чтобы длина каждого хоровода делилась на $3$, а при взгляде на любой хоровод сверху читалось бы по часовой стрелке АБВАБВ...АБВ.
Докажите, что Иван может устроить бал ровно $(3n)!$ различными способами. (Цилиндры с одинаковыми буквами неразличимы; все гости различны.)
На некоторых клетках доски 10×10 сидит по блохе. Раз в минуту блохи одновременно прыгают, причём каждая – в соседнюю клетку (по стороне). Блоха прыгает строго в одном из четырёх направлений, параллельных сторонам доски, сохраняет направление, пока это возможно, иначе меняет его на противоположное. Пес Барбос наблюдал за блохами в течение часа и ни разу не видел, чтобы две
из них сидели на одной клетке. Какое наибольшее количество блох могло прыгать по доске?
Страница:
<< 4 5 6 7 8 9
10 >> [Всего задач: 46]
Фильтр
Решение 
