Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дядька Черномор написал на листке бумаги число 20.  33 богатыря передают листок друг другу, и каждый или прибавляет к числу, или отнимает от него единицу. Может ли в результате получиться число 10?

   Решение

---

Обозначим через  S(n, k)  количество не делящихся на k коэффициентов разложения многочлена  (x + 1)ⁿ  по степеням x.
  а) Найдите  S(2012, 3).
  б) Докажите, что  S(2012²⁰¹¹, 2011)  делится на 2012.

   Решение

Страница: << 31 32 33 34 35 36 37 >> [Всего задач: 203]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73658

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Простые числа и их свойства ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Уравнения в целых числах ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Найдите все такие натуральные числа m, что произведение факториалов первых m нечётных натуральных чисел равно факториалу суммы первых m натуральных чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78796

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Простые числа и их свойства ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Можно ли каждую сторону квадрата так разделить на 100 частей, чтобы из полученных 400 отрезков нельзя было бы составить контура никакого прямоугольника, отличного от исходного квадрата?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116706

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Простые числа и их свойства ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 5- Классы: 11

Обозначим через  S(n, k)  количество не делящихся на k коэффициентов разложения многочлена  (x + 1)ⁿ  по степеням x.
  а) Найдите  S(2012, 3).
  б) Докажите, что  S(2012²⁰¹¹, 2011)  делится на 2012.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60754

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Простые числа и их свойства ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Докажите, что для простого числа p вида  4k + 1  числа x = ± (2k)!  являются решениями сравнения  x² + 1 ≡ 0 (mod p).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 103769

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3- Классы: 7

Зная, что число 1993 простое, выясните, существуют ли такие натуральные числа x и y, что
  а)  x² – y² = 1993;
  б)  x³ – y³ = 1993;
  в)  x⁴ – y⁴ = 1993?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 31 32 33 34 35 36 37 >> [Всего задач: 203]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями