Версия для печати
Убрать все задачи

---

Существует ли непостоянный многочлен $P(x)$, который можно представить в виде суммы  $a(x) + b(x)$,  где $a(x)$ и $b(x)$ – квадраты многочленов с действительными коэффициентами,
  а) ровно одним способом?
  б) ровно двумя способами?
Способы, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми.

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по углу, противолежащей стороне и разности двух других сторон.

   Решение

---

В выпуклом 2002-угольнике провели несколько диагоналей, не пересекающихся внутри 2002-угольника. В результате 2002-угольник разделился на 2000 треугольников. Могло ли случиться, что ровно у половины этих треугольников все стороны являются диагоналями этого 2002-угольника?

   Решение

---

Постройте треугольник ABC по углам A и B и разности сторон AC и BC.

   Решение

---

Пять отрезков таковы, что из любых трех из них можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.

   Решение

---

Все коэффициенты многочлена равны 1, 0 или –1.
Докажите, что все его действительные корни (если они существуют) заключены в отрезке  [–2, 2].

   Решение

---

Докажите, что середины всех хорд данной длины, проведённых в данной окружности, лежат на некоторой окружности.

   Решение

---

Докажите, что треугольник ABC остроугольный тогда и только тогда, когда длины его проекций на три различных направления равны.

   Решение

---

Докажите, что радикальная ось двух пересекающихся окружностей проходит через точки их пересечения.

   Решение

---

Постройте треугольник АВС по углу А и медианам, проведенным из вершин В и С.

   Решение

---

Прямоугольный треугольник ABC движется по плоскости так, что его вершины B и C скользят по сторонам данного прямого угла. Доказать, что множеством точек A является отрезок и найти его длину.

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне, притиволежащему углу и медиане, проведённой из вершины одного из прилежащих углов.

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и радиусу вписанной окружности.

   Решение

---

Многочлен p и число a таковы, что для любого числа x верно равенство  p(x) = p(a – x).
Докажите, что p(x) можно представить в виде многочлена от  (x – ^a/₂)².

   Решение

---

Стороны AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD площади S не параллельны.
Найдите геометрическое место точек X, лежащих внутри четырёхугольника, для которых  S_ABX + S_CDX = ^S/₂.

   Решение

---

При каких целых значениях m число Р = 1 + 2m + 3m² + 4m³ + 5m⁴ + 4m⁵ + 3m⁶ + 2m⁷ + m⁸ является квадратом целого числа?

   Решение

---

Даны окружность $\omega$ и точки $A$ и $B$ на ней. Пусть $C$ – произвольная точка на одной из дуг $AB$ этой окружности, $CL$ – биссектриса треугольника $ABC$, окружность $BCL$ пересекает $AC$ в $E$, а $CL$ пересекает $BE$ в $F$. Найдите геометрическое место центров окружностей $AFC$.

   Решение

---

Верно ли, что два треугольника ABC и A'B'C' равны, если  AB =A'B',  BC = B'C', и  ∠A = ∠A'?

   Решение

---

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность, причём  ∠B + ∠E = ∠C + ∠D.  Докажите, что  ∠CAD < ^π/₃ < ∠A.

   Решение

---

Через данную точку окружности проведите хорду, которая бы делилась данной хордой пополам.

   Решение

---

Продолжения сторон AB и CD четырехугольника ABCD пересекаются в точке F, а продолжения сторон BC и AD — в точке E. Докажите, что окружности с диаметрами AC, BD и EF имеют общую радикальную ось, причем на ней лежат ортоцентры треугольников  ABE, CDE, ADF и BCF.

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по радиусу описанной окружности и высоте и медиане, проведённым из одной вершины.

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 92]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 54531

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по радиусу описанной окружности, стороне и высоте, проведённой к другой стороне.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 54602

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Диаметр, основные свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Через точку M пересечения двух окружностей проведите прямую, вторично пересекающую окружности в точках A и B соответственно, причём так, чтобы отрезок AB был равен заданному, а точка M оказалась между A и B (центры окружностей расположены по разные стороны от общей хорды).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 36996

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Окружность Аполлония ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Гомотетия (ГМТ) ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Постройте треугольник АВС по углу А и медианам, проведенным из вершин В и С.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 54530

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по радиусу описанной окружности и высоте и медиане, проведённым из одной вершины.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 54583

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Постройте треугольник по высоте и медиане, проведённым из одной вершины, и высоте, проведённой из другой вершины.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 92]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями