Разрежьте изображённую на рисунке трапецию на три части и сложите из них квадрат.

   Решение

Три ёжика делили три кусочка сыра массами 5 г, 8 г и 11 г. Лиса стала им помогать. Она может от любых двух кусочков одновременно отрезать и съесть по 1 г сыра. Сможет ли лиса оставить ёжикам равные кусочки сыра?

   Решение

  Определение. Пусть  α = (k, j, i)  – набор целых неотрицательных чисел,  k ≥ j ≥ i.  Через T_α(x, y, z) будем обозначать симметрический многочлен от трёх переменных, который есть по определению сумма одночленов вида x^ay^bz^c по всем шести перестановкам  (a, b, c)  набора  (k, j, i).
  Аналогично определяются многочлены T_α для произвольного количества переменных/чисел в наборе α.
  Запишите через многочлены вида T_α неравенства
  а)  x⁴y + y⁴x ≥ x³y² + x²y³;
  б)  x³yz + y³xz + z³xy ≥ x²y²z + y²z²x + z²x²y.

   Решение

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2, угол при вершине равен 120^o. Найдите диаметр описанной окружности.

   Решение

В правильной треугольной призме плоскость, проходящая через сторону одного основания и противоположную ей вершину другого основания, образует с плоскостью основания угол, равный 45^o . Площадь сечения равна S . Найдите объём призмы.

   Решение

Какое максимальное число королей, не бьющих друг друга, можно расставить на шахматной доске 8×8?

   Решение

В треугольнике ABC из вершины A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке D, находящейся между точками B и C, причём = ( < ). На стороне BC между точками B и D взята точка E и через неё проведена прямая, параллельная стороне AC и пересекающая сторону AB в точке F. Найдите отношение площадей трапеции ACEF и треугольника ADC, если известно, что CD = DE.

   Решение

Пять отрезков таковы, что из любых трех из них можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.

   Решение

В четырёхугольнике ABCD  ∠DAB = ∠DBC = 90°. Кроме того,  DB = a,  DC = b.
Найдите расстояние между центрами двух окружностей, одна из которых проходит через точки D, A, B, а другая – через точки B, C, D.

   Решение

Докажите, что для действительного положительного α и натурального d всегда выполнено равенство  [^α/_d] = [^[α]/_d].

   Решение

Докажите, что не существует многочлена P(x) с целыми коэффициентами, для которого  P(6) = 5  и  P(14) = 9.

   Решение

Основание пирамиды ABCD – треугольник ABC со сторонами AC = 10 , BC = 24 , AB = 26 . Все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом 45^o . Найдите а) радиус сферы, описанной около пирамиды ABCD ; б) расстояние между прямыми DM и AC и прямыми DM и BC , где DM – высота пирамиды ABCD .

   Решение

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с основаниями ABCD и A1B1C1D1 . Точка M – середина ребра AB , K – середина ребра CD . Найдите радиус сферы, проходящей через точки M , K , A1 , C1 , если ребро куба равно .

   Решение

Дан треугольник $ABC$ и окружности $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$, $\omega_4$ с центрами $X$, $Y$, $Z$, $T$ соответственно такие, что каждая из прямых $BC$, $CA$, $AB$ высекает на них четыре равных отрезка. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника $ABC$ делит отрезок с концами в $X$ и радикальном центре $\omega_2$, $\omega_3$, $\omega_4$ в отношении $2:1$, считая от $X$.

   Решение

Найдите площадь правильного шестиугольника, описанного около окружности, если известно, что хорда этой окружности, равная 4, удалена от её центра на расстояние, равное 5.

   Решение

Найдите множество точек касания пар окружностей, касающихся сторон данного угла в данных точках A и B.

   Решение

Постройте треугольник ABC по стороне a, высоте h_a и углу A.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 43]      

Постройте треугольник ABC по стороне a, высоте h_a и углу A.

Прислать комментарий

Решение

Постройте прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.

Прислать комментарий

Решение

Постройте окружность с данным центром, касающуюся данной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Постройте прямую, проходящую через данную точку и касающуюся данной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Даны отрезки, длины которых равны a, b и c. Постройте отрезок длиной: a) ab/c; б) .

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 43]