Страница:
<< 13 14 15 16
17 18 19 >> [Всего задач: 104]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Назовём пару ($m, n$) различных натуральных чисел $m$ и n хорошей, если $mn$ и $(m + 1)(n + 1)$ – точные квадраты.
Докажите, что для каждого натурального $m$ существует хотя бы одно такое $n > m$, что пара ($m, n$) хорошая.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Про пять положительных чисел известно, что если из суммы любых трёх из них вычесть сумму двух оставшихся, то разность будет положительной. Докажите, что произведение всех десяти таких разностей не превосходит квадрата произведения данных пяти чисел.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
В квадрате 3×3 расставлены числа (см. рис.). Известно, что
квадрат магический: сумма чисел в каждом столбце, в каждой строке и на каждой
диагонали одна и та же. Докажите, что
а) 2(a + c + g + i) = b + d + f + h + 4e.
б) 2(a³ + c³ + g³ + i³) = b³ + d³ + f ³ + h³ + 4e³.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Число N, не делящееся на 81, представимо в виде суммы квадратов трёх целых чисел, делящихся на 3.
Докажите, что оно также представимо в виде суммы квадратов трёх целых чисел, не делящихся на 3.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Петя приобрёл в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные
устройства" микрокалькулятор, который может по любым действительным числам
x и y вычислить xy + x + y + 1 и не имеет других операций. Петя хочет написать "программу" для вычисления многочлена
1 + x + x² + ... + x1982. Под
"программой" он понимает такую последовательность многочленов f1(x), ..., fn(x), что
f1(x) = x и для любого i = 2, ..., n fi(x) – константа или
fi(x) = fj(x)·fk(x) + fk(x) + fj(x) + 1, где j < i, k < i, причём fn(x) = 1 + x + ... + x1982.
а) Помогите Пете написать "программу".
б) Можно ли написать "программу", если калькулятор имеет только одну операцию xy + x + y?
Страница:
<< 13 14 15 16
17 18 19 >> [Всего задач: 104]
Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Многочлены
>>
Формулы сокращенного умножения
>>
Тождественные преобразования
Решение 
