Каталог по темам

Задачи

Страница: << 41 42 43 44 45 46 47 >> [Всего задач: 258]

Задача 78582

Темы:	[	Задачи на максимум и минимум (прочее)	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Построения в пространстве (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Дана плоскость P и две точки A и B по разные стороны от неё. Построить сферу, проходящую через эти точки, высекающую из P наименьший круг.

Прислать комментарий

Решение

Задача 97832

Темы:	[	Непрерывные функции (общие свойства)	]
	[	Монотонность, ограниченность	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Анджанс А.

F(x) – возрастающая функция, определённая на отрезке [0, 1]. Известно, что область её значений принадлежит отрезку [0, 1]. Доказать, что, каково бы ни было натуральное n, график функции можно покрыть N прямоугольниками, стороны которых параллельны осям координат так, что площадь каждого равна ¹/_n². (В прямоугольник мы включаем его внутренние точки и точки его границы.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 115356

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

В клетки квадрата 100×100 расставили числа 1, 2, ..., 10000, каждое – по одному разу; при этом числа, различающиеся на 1, записаны в соседних по стороне клетках. После этого посчитали расстояния между центрами каждых двух клеток, числа в которых различаются ровно на 5000. Пусть S – минимальное из этих расстояний. Какое наибольшее значение может принимать S?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98184

Темы:	[	Сочетания и размещения	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Задачи с неравенствами. Разбор случаев	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Авторы: Терешин Д.А., Вялый М.Н.

В ботаническом справочнике каждое растение характеризуется 100 признаками (каждый признак либо присутствует, либо отсутствует). Растения считаются непохожими, если они различаются не менее, чем по 51 признаку.
а) Покажите, что в справочнике не может находиться больше 50 попарно непохожих растений.
б) А может ли быть ровно 50?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73744

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Неравенства с углами	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Гервер М.Л.

Для любого треугольника можно вычислить сумму квадратов тангенсов половин его углов. Докажите, что эта сумма
а) меньше 2 для любого остроугольного треугольника;
б) не меньше 2 для любого тупоугольного треугольника, величина тупого угла которого больше или равна 2 arctg ⁴/₃; а среди треугольников с тупым углом, меньшим 2 arctg ⁴/₃, имеются и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых больше 2, и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых меньше 2.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 41 42 43 44 45 46 47 >> [Всего задач: 258]