Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 35079

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Докажите, что бесконечная десятичная дробь 0,1234567891011121314... (после запятой подряд выписаны все натуральные числа по порядку) представляет собой иррациональное число.

Решение

Рациональные числа выражаются периодическими десятичными дробями. Предположим, что наша дробь периодическая: некоторая последовательность T, состоящая из n цифр, является периодом дроби начиная с m-го знака после запятой. Среди цифр после m-го знака встречаются ненулевые, поэтому в последовательности цифр T есть ненулевая цифра. Это означает, что начиная с m-й цифры после запятой, среди любых n цифр подряд есть ненулевая цифра. Однако в десятичной записи данной дроби должна присутствовать десятичная запись числа 10^k, где k больше m и n. Эта запись встретится правее m-й цифры и содержит более n нулей подряд. Противоречие.

Прислать комментарий

---

Задача 60841

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ] [ Геометрическая прогрессия ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Найдите период дроби  ¹/₄₉ = 0,0204081632...

Решение

¹/₄₉ = 0,(020408163265306122448979591836734693877551).
Если просуммировать геометрическую прогрессию  2·10^–2 + 4·10^–4 + ...,  то получится в точности ¹/₄₉.

Прислать комментарий

---

Задача 60842  [Число Фейнмана]

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Объясните поведение следующей десятичной дроби и найдите её период:  ¹/₂₄₃ = 0,004115226337448...

Ответ

0,(004115226337448559670781893).

Прислать комментарий

---

Задача 60843

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ] [ Обыкновенные дроби ] [ Геометрическая прогрессия ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Представьте следующие числа в виде обычных и в виде десятичных дробей:
  а)  0,(12) + 0,(122);   б)  0,(3)·0,(4);   в)  0,(9) – 0,(85).

Решение

а) Согласно задаче 60876   0,(12) + 0,(122) = ¹²/₉₉ + ¹²²/₉₉₉ = ^{121212+122122}/₉₉₉₉₉₉ = ²⁴³³³⁴/₉₉₉₉₉₉ = 0,(243334).

в) 0,(9) – 0,(85) = 0,(14) = ¹⁴/₉₉.

Ответ

а)  ^1243334/₉₉₉₉₉₉ = 0,(243334);   б)  ⁴/₂₇ = 0,(148);   в)  ¹⁴/₉₉ = 0,(14).

Прислать комментарий

---

Задача 60876

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ] [ Геометрическая прогрессия ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите, что равенство   =   равносильно тому, что десятичное представление дроби ¹/_m имеет вид  0,(a₁a₂...a_n).

Решение

По формуле для суммы геометрической прогрессии  0,(a₁...a_n) = .  Значит, если   = ,  то  ¹/_m = 0,(a₁a₂...a_n).

Прислать комментарий

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями