ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 19]      



Задача 61463

Темы:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]
[ Квадратные корни (прочее) ]
[ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

При возведении числа  1 + в различные степени, можно обнаружить некоторые закономерности:
  (1 + )1 = 1 + = + ,   (1 + )2 = 3 + 2 = + ,   (1 + )3 = 7 + 5 = + ,   (1 + )4 = 17 + 12 = + .
Для их изучения определим числа an и bn при помощи равенства  (1 + )n = an + bn,  (n ≥ 0).
  а) Выразите через an и bn число  (1 – )n.
  б) Докажите равенство  
  в) Каким рекуррентным уравнениям удовлетворяют последовательности {an} и {bn}?
  г) Пользуясь пунктом а), найдите формулы n-го члена для последовательностей {an} и {bn}.
  д) Найдите связь между числами an, bn и подходящими дробями к числу .

Прислать комментарий     Решение

Задача 61167

Темы:   [ Тригонометрические уравнения ]
[ Квадратные корни (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Решите уравнения при 0o < x < 90o:

a) $ \sqrt{13-12\cos x}$ + $ \sqrt{7-4\sqrt3\sin x}$ = 2$ \sqrt{3}$;

б) $ \sqrt{2-2\cos x}$ + $ \sqrt{10-6\cos x}$ = $ \sqrt{10-6\cos 2x}$;

в) $ \sqrt{5-4\cos x}$ + $ \sqrt{13-12\sin
x}$ = $ \sqrt{10}$.
Прислать комментарий     Решение

Задача 61464

Темы:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]
[ Квадратные корни (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Рассмотрим равенства:

2 + $\displaystyle \sqrt{3}$ = $\displaystyle \sqrt{4}$ + $\displaystyle \sqrt{3}$,
(2 + $\displaystyle \sqrt{3}$)2 = $\displaystyle \sqrt{49}$ + $\displaystyle \sqrt{48}$,
(2 + $\displaystyle \sqrt{3}$)3 = $\displaystyle \sqrt{676}$ + $\displaystyle \sqrt{675}$,
(2 + $\displaystyle \sqrt{3}$)4 = $\displaystyle \sqrt{9409}$ + $\displaystyle \sqrt{9408}$.

Обобщите результат наблюдения и докажите возникшие у вас догадки.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60863

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Квадратные корни (прочее) ]
Сложность: 7
Классы: 10,11

Докажите, что число $ \sqrt{2}$ + $ \sqrt{3}$ + $ \sqrt{5}$ + $ \sqrt{7}$ + $ \sqrt{11}$ + $ \sqrt{13}$ + $ \sqrt{17}$ иррационально.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 19]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .