ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      



Задача 61475

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого числа p > 2 найдется такое число $ \beta$, что

$\displaystyle \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+
\sqrt{2+p}}}}}_{n~\mbox{\scriptsize {радикалов}}}^{}\,$ = $\displaystyle \beta^{2^n}_{}$ - $\displaystyle \beta^{-2^n}_{}$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 77972

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ]
[ Иррациональные неравенства ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Доказать неравенство

$\displaystyle {\frac{2-\overbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}^{n{\rm раз}}}{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n-1{\rm раз}}}}$ > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78517

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Итерации ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Решить в целых числах уравнение   = m.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61486

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Пусть (1 + $ \sqrt{2}$ + $ \sqrt{3}$)n = pn + qn$ \sqrt{2}$ + rn$ \sqrt{3}$ + sn$ \sqrt{6}$ (n $ \geqslant$ 0). Найдите:

а) $ \lim\limits_{n\to
\infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{q_n}}$;     б) $ \lim\limits_{n\to
\infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{r_n}}$;     в) $ \lim\limits_{n\to
\infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{s_n}}$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61478

Темы:   [ Квадратные корни (прочее) ]
[ Линейные рекуррентные соотношения ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Докажите, что при всех натуральных n выполняется сравнение [(1 + $ \sqrt{2}$)n] $ \equiv$ n(mod 2).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .