Фильтр
Задачи
Задача 60470 |
|
|
Найдите все простые числа, которые равны сумме двух простых чисел и разности двух простых чисел.
Решение
Указанное простое число p нечётно, поэтому в сумме и разности участвуют числа разной чётности. Итак, p = q + 2 = r – 2. Отсюда видно, что числа дают разные остатки при делении на 3, значит, одно из них кратно 3, а так как оно простое, то равно 3.
Ответ
5.
|
|
Задача 79296 |
|
|
Натуральные числа a, b, c таковы, что числа p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b простые. Доказать, что два из чисел p, q, r равны между собой.
Решение
Два из чисел a, b, c одной чётности. Пусть для определённости это a и b. Тогда простое число p = bc + a чётно. Следовательно, p = 2, a = b = 1,
а q = 1 + c = r.
|
|
|
Задача 98292 |
|
|
Существует ли такое число n , что числа
а) n – 96, n, n + 96;
б) n – 1996, n, n + 1996
простые? (Все простые числа считаем положительными.)
Решение
а) Например, при n = 101 получаем простые числа 5, 101, 197.
б) Поскольку 1996 не делится на 3, то одно из чисел n – 1996, n и n + 1996 делится на 3, следовательно, n – 1996 = 3. Но тогда n + 1996 = 3995 – составное число.
Ответ
а) Существует; б) не существует.
|
|
|
Задача 30392 |
|
|
а) p, p + 10, p + 14 – простые числа. Найдите p.
б) p, 2p + 1, 4p + 1 – простые числа. Найдите p.
Подсказка
Рассмотрите остатки от деления на 3. Одно из этих чисел делится на 3.
Ответ
p = 3.
|
|
|
Задача 30394 |
|
|
p и p² + 2 – простые числа. Докажите, что p² + 2 – также простое число.
Подсказка
Рассмотрите остатки от деления на 3.
Решение
Если число p делится на 3 и больше 3, то оно не простое.
Пусть p не делится на 3 и больше 1. Тогда p² даёт остаток 1 от деления на 3, то есть p² + 2 делится на 3. Поскольку p² + 2 > 3, то это число – составное.
Остаётся единственная возможность p = 3. При этом p³ + 2 = 29.
|
|
|
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 203]
