Каталог по темам

Задачи

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 418]

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

На какую наибольшую степень двойки делится число 10²⁰ – 2²⁰?

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
Темы:	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами. Известно, что Р(1) = 2013, Р(2013) = 1, P(k) = k, где k – некоторое целое число. Найдите k.

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Произведения и факториалы	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Докажите, что существует такое натуральное n, что числа n + 1, n + 2, ..., n + 1989 – составные.

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Докажите, что 1ⁿ + 2ⁿ + ... + (n – 1)ⁿ делится на n при нечётном n.

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
Темы:	[	Симметрия и инволютивные преобразования	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Назовём натуральное число n удобным, если n² + 1 делится на 1000001. Докажите, что среди чисел 1, 2, ..., 1000000 чётное число удобных.

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 418]