Фильтр
Задачи
Задача 88317 |
|
|
В вершинах 100-угольника расставлены числа так, что каждое равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все они равны.
Решение
Рассмотрим максимальное из чисел. С одной стороны оно не меньше каждого из своих соседей, а с другой стороны, равно их среднему арифметическому. Поэтому это число равно каждому из своих соседей. Аналогичным образом, рассматривая соседей соседних чисел и т. д., двигаясь по цепочке, доказываем, что все числа равны.
|
|
|
Задача 109477 |
|
|
Люди заходят с улицы в метро равномерно. Пройдя через турникеты, они оказываются в небольшом зале перед эскалаторами. Двери на вход только что открылись, и сначала зал перед эскалаторами был пустой, а на спуск работал только один эскалатор. Один эскалатор не справлялся с толпой, так что за 6 минут зал наполовину заполнился. Тогда включили на спуск второй эскалатор, но толпа продолжала увеличиваться – ещё через 15 минут зал был полон.
За какое время зал опустеет, если включить третий эскалатор?Решение
При одном включённом эскалаторе за минуту заполняется 1/12 зала. При двух включённых эскалаторах за минуту заполняется 1/30 зала. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Разница 1/12 – 1/30 = 1/20 показывает, какую часть зала опустошает за минуту один эскалатор. Когда включат третий эскалатор, толпа начнёт убывать со скоростью 1/20 – 1/30 = 1/60 зала в минуту. Следовательно, зал освободится через час.
Второй способ. Скорость v2 заполнения зала при двух включенных эскалаторах равна среднему арифметическому скоростей v1 и v3 заполнения при одном и трёх включенных эскалаторах. Поэтому v3 = 2v2 – v1 = 2·1/30 – 1/12 = – 1/60, то есть освобождается 1/60 зала в минуту.
Ответ
За час.
|
|
|
Задача 116442 |
|
|
В классе находятся учитель и несколько учеников. Известно, что возраст учителя на 24 года больше среднего возраста учеников и на 20 лет больше среднего возраста всех присутствующих в классе. Сколько учеников находится в классе?
Решение
Предположение, что все ученики одного возраста, не влияет на средние возраста и, значит, на ответ. При этом предположении возраст ученика на 4 года меньше среднего возраста всех присутствующих. Чтобы "уравновесить" 20 лет "превышения" учителя, учеников должно быть 20 : 4 = 5.
Ответ
5 учеников.
|
|
|
Задача 116811 |
|
|
Кое-кто в классе смотрит футбол, кое-кто – мультики, но нет таких, кто не смотрит ни то, ни другое. У любителей мультиков средний балл по математике меньше 4, у любителей футбола – тоже меньше 4. Может ли средний балл всего класса по математике быть больше 4?
Решение
Пусть в классе всего 7 человек, причем двое имеют по математике только пятёрки и смотрят только мультфильмы, трое имеют по математике только тройки, а смотрят и то и другое, и еще двое имеют по математике пятёрки, но смотрят только футбол. Тогда средний балл каждой из двух групп меньше 4 (в каждой "отличников" меньше, чем "троечников"), а общий средний балл больше 4 ("отличников" больше, чем "троечников").
Ответ
Может.
|
|
|
Задача 61322[Арифметико-геометрическое среднее] |
|
|
Пусть a и b – два положительных числа, причём a < b. Построим по этим числам две последовательности {an} и {bn} по правилам:
Этот предел называется арифметико-геометрическим средним чисел a, b и обозначается μ(a, b).
Решение
Ясно, что an < an+1 < bn+1 < bn. Кроме того, 0 < bn+1 – an+1 < bn+1 – an = ½ (bn – an). По лемме о вложенных отрезках отрезки [an, bn] имеют единственную общую точку, которая и будет общим пределом последовательностей {an} и {bn}.
|
|
|
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 168]
