Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 88037

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Инварианты ] [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 6,7,8

На волшебной яблоне выросли 15 бананов и 20 апельсинов. Одновременно разрешается срывать один или два плода. Если сорвать один из плодов вырастет такой же, если сорвать сразу два одинаковых плода – вырастет апельсин, а если два разных – вырастет банан.
  а) В каком порядке надо срывать плоды, чтобы на яблоне остался ровно один плод?
  б) Можете ли вы определить, какой это будет плод?
  в) Можно ли срывать плоды так, чтобы на яблоне ничего не осталось?

Подсказка

Можно ли срывать плоды так, чтобы число бананов на яблоне стало чётным?

Решение

б), в) Заметим, что число бананов на яблоне всегда будет нечётным.

а) Например, сорвём 7 раз по два банана (останется банан и 27 апельсинов), а потом 27 раз сорвём по банану и апельсину.

Ответ

б) Банан;   в) нельзя.

Прислать комментарий

---

Задача 88319

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Инварианты ]

Сложность: 3- Классы: 6,7,8

Хулиганы Вася и Петя порвали стенгазету, причём Петя рвал каждый кусок на 5 частей, а Вася на 9. При попытке собрать стенгазету нашли 1988 обрывков. Докажите, что нашли не все кусочки.

Решение

Как Петя, так и Вася на каждом "шаге" добавляли чётное число кусков. Значит, общее число кусочков было нечётно. Но 1988 – число чётное.

Прислать комментарий

---

Задача 98656

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Степень вершины ]

Сложность: 3- Классы: 6,7

У марсиан бывает произвольное число рук. Однажды все марсиане взялись за руки так, что свободных рук не осталось.
Докажите, что число марсиан, у которых нечётное число рук, чётно.

Решение

См. задачу 87972 б).

Прислать комментарий

---

Задача 116263

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

По кругу написаны все целые числа от 1 по 2010 в таком порядке, что при движении по часовой стрелке числа поочередно то возрастают, то убывают.
Докажите, что разность каких-то двух чисел, стоящих рядом, чётна.

Решение

Пусть все разности рядом стоящих чисел нечётны. Тогда чётные и нечётные числа по кругу чередуются. Но это значит, что либо каждое чётное число больше обоих соседних нечётных, либо каждое чётное число меньше обоих соседних нечётных. В первом случае не найдётся места для числа 2, а во втором – для числа 2010. Противоречие.

Прислать комментарий

---

Задача 116802

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10

Может ли число  (x² + x + 1)² + (y² + y + 1)²  при каких-то целых x и y оказаться точным квадратом?

Решение

Так как число вида  a² + a = a(a + 1)  чётно, то значение каждого из выражений в скобках – нечётное число. А сумма двух нечётных квадратов квадратом не является (см. задачу 30396 а).

Ответ

Не может.

Прислать комментарий

---

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями