Каталог по темам

Задачи

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 704]

Задача 61330

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Пусть p и q — отличные от нуля действительные числа и p² - 4q > 0. Докажите, что следующие последовательности сходятся:
а) y₀ = 0, y_{n + 1} = ${\dfrac{q}{p-y_n}}$ (n $\geqslant$ 0);
б) z₀ = 0, z_{n + 1} = p - ${\dfrac{q}{z_n}}$ (n $\geqslant$ 0).
Установите связь между предельными значениями этих последовательностей y*, z^* и корнями уравнения x² - px + q = 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61436

Тема:

[

Суммы числовых последовательностей и ряды разностей

]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите равенство

f (x + n) = $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}$ C_n^k $\displaystyle \Delta^{k}_{}$ f (x).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61439

Тема:

[

Суммы числовых последовательностей и ряды разностей

]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что для всех m в промежутке 1 $\leqslant$ m < n выполняется равенство:

$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}$ (- 1)^kk^mC_n^k = 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61440

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
Темы:	[	Многочлены (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Пусть числа y₀, y₁, ..., y_n таковы, что для любого многочлена f (x) степени m < n справедливо равенство: (*)
Докажите, что , где λ – некоторое фиксированное число.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61446

Тема:

[

Суммы числовых последовательностей и ряды разностей

]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Найдите :

а) $\sum\limits_{k=1}^{n}$ ${\dfrac{1}{k(k+1)}}$ ;	д) $\sum\limits_{k=1}^{n}$ ${\dfrac{4k+1}{k(k+1)(4k^2-1)}}$ ;
б) $\sum\limits_{k=2}^{n}$ ${\dfrac{1}{k^2-1}}$ ;	е) $\sum\limits_{k=1}^{n}$ ${\dfrac{k-1}{k!}}$ ;
в) $\sum\limits_{k=1}^{n}$ ${\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}}$ ;	ж) $\sum\limits_{k=1}^{n}$ k! k.
г) $\sum\limits_{k=1}^{n}$ ${\dfrac{(k-1)\,2^k}{k(k+1)}}$ ;

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 704]