Страница:
<< 116 117 118 119
120 121 122 >> [Всего задач: 704]
|
[Ханойская башня I]
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
а) Головоломка "Ханойская башня" представляет собой восемь дисков, нанизанных в порядке уменьшения размеров на один из трёх колышков. Требуется переместить всю башню на другой колышек, перенося каждый раз только один диск и не помещая больший диск на меньший. Докажите, что головоломка имеет решение. Какой способ будет оптимальным (по числу перекладываний дисков)?
б) Занумеруем колышки числами 1, 2, 3. Требуется переместить диски с 1-го колышка на 3-й. Сколько понадобится перекладываний, если прямое перемещение диска с 1-го колышка на 3-й и с 3-го на 1-й запрещено (каждое перекладывание должно производиться через 2-й колышек)?
в) Сколько понадобится перекладываний, если в условии пункта а) добавить дополнительное требование: первый (самый маленький) диск нельзя класть на 2-й колышек?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что pn+1 ≤ 22n + 1, где pn – n-е простое число.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
а) Докажите, что в последовательности чисел Фибоначчи при m ≥ 2 встречается не менее четырёх и не более пяти m-значных чисел.
б) Докажите, что число F5n+2 (n ≥ 0) содержит в своей десятичной записи не менее n + 1 цифры.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Представьте следующие числа в виде обычных и в виде десятичных дробей:
а) 0,(12) + 0,(122); б) 0,(3)·0,(4); в) 0,(9) – 0,(85).
|
[Арифметико-гармоническое среднее]
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Пусть a и b – два положительных числа, и a < b. Определим две последовательности чисел {an} и {bn} формулами:
a0 =
a, b0 =
b, an+1 =
,
bn+1 =
(
n ≥ 0).
а) Докажите, что обе эти последовательности имеют общий предел.
Этот предел называется
арифметико-гармоническим средним чисел
a и
b.
б) Докажите, что этот предел совпадает со средним геометрическим чисел
a и
b.
в) Пусть
a = 1,
b = k. Как последовательность {
bn} связана с последовательностью {
xn} из задачи
61299?
Страница:
<< 116 117 118 119
120 121 122 >> [Всего задач: 704]
Фильтр
