Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 412]
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
|
Ученик Коля Васин при помощи метода
математической индукции смог доказать, что в любом табуне все
лошади одной масти.
Если есть только одна лошадь, то она своей масти, так что база
индукции верна. Для индуктивного перехода предположим, что есть
n лошадей (с номерами от 1 до n). По индуктивному
предположению лошади с номерами от 1 до n - 1 одинаковой масти.
Аналогично лошади с номерами от 2 до n также имеют одинаковую
масть. Но лошади с номерами от 2 до n - 1 не могут менять свою
масть в зависимости от того как они сгруппированы — это лошади,
а не хамелеоны. Поэтому все n лошадей должны быть одинаковой
масти.
Есть ли ошибка в этом рассуждении, и если есть, то какая?
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
Проведём в выпуклом многоугольнике некоторые диагонали так, что никакие две из
них не пересекаются (из одной вершины могут выходить несколько диагоналей).
Доказать, что найдутся по крайней мере две вершины многоугольника, из которых
не проведено ни одной диагонали.
Петя умеет на любом отрезке отмечать точки, которые делят этот отрезок пополам или в отношении n : (n + 1), где n – любое натуральное число. Петя утверждает, что этого достаточно, чтобы на любом отрезке отметить точку, которая делит его в любом заданном рациональном отношении. Прав ли он?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8
|
В прямоугольнике 3×n стоят фишки трёх цветов, по n штук
каждого цвета.
Доказать, что можно переставить фишки в каждой строке так, чтобы в каждом столбце были фишки всех цветов.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Вершины выпуклого многоугольника раскрашены в три цвета так, что каждый цвет присутствует и никакие две соседние вершины не окрашены в один цвет. Докажите, что многоугольник можно разбить диагоналями на треугольники так, чтобы у каждого треугольника вершины были трёх разных цветов.
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 412]
Фильтр
