ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 397]      



Задача 66073

Темы:   [ Доказательство от противного ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

По кругу написано 100 ненулевых чисел. Между каждыми двумя соседними числами написали их произведение, а прежние числа стерли. Количество положительных чисел не изменилось. Какое минимальное количество положительных чисел могло быть написано изначально?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66151

Темы:   [ Доказательство от противного ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

На доске написаны  n > 3  различных натуральных чисел, меньших чем  (n – 1)!.  Для каждой пары этих чисел Серёжа поделил большее на меньшее с остатком и записал в тетрадку полученное неполное частное (так, если бы он делил 100 на 7, то он бы получил  100 = 14·7 + 2  и записал бы в тетрадку число 14). Докажите, что среди чисел в тетрадке найдутся два равных.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73633

Темы:   [ Доказательство от противного ]
[ Обратный ход ]
[ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Рекуррентные соотношения ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

  а) Докажите, что в таблице

где каждое число равно сумме трёх стоящих над ним чисел, в каждой строке (начиная с третьей) есть чётное число.
  б) В каждой ли строке (кроме первых двух) встречается число, кратное 3?

Прислать комментарий     Решение

Задача 79335

Темы:   [ Доказательство от противного ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Раскраски ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8,9

Каждая точка числовой оси, координата которой – целое число, покрашена либо в красный, либо в синий цвет. Доказать, что найдётся цвет со следующим свойством: для каждого натурального числа k имеется бесконечно много точек этого цвета, координаты которых делятся на k.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116661

Темы:   [ Доказательство от противного ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
[ Арифметическая прогрессия ]
Сложность: 3+
Классы: 5,6,7

Можно ли 100 гирь массами 1, 2, 3, ..., 99, 100 разложить на 10 кучек разной массы так, чтобы выполнялось условие: чем тяжелее кучка, тем меньше в ней гирь?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 397]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .