Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 121]      

Можно ли покрыть шахматную доску 8×8 доминошками 2×1 так, чтобы никакие две доминошки не образовывали квадратик 2×2?

Подсказка

Предположите, что это возможно, и исходя из этого предположения постройте из доминошек "лесенку", которая начинается с угла доски.

Решение

Докажем, что всегда образуется хотя бы один квадратик 2×2. Предположим противное – доска покрыта доминошками так, что ни одного квадратика не образуется.

Занумеруем горизонтальные ряды доски числами от 1 до 8, а вертикальные ряды – буквами a, b, c, ..., h (как при записи ходов в шахматной партии). Рассмотрим доминошку, покрывающую угловое поле a1. Пусть, для определенности, эта доминошка горизонтальная, т.е. покрывает еще поле b1. Рассмотрим доминошку, покрывающую поле a2. Если бы она была горизонтальной, то она образовывала бы квадратик 2×2 с первой доминошкой. Следовательно, эта доминошка вертикальная, и она покрывает поля a2, a3.
Далее, рассмотрим доминошку, покрывающую поле b2. Если бы она была вертикальной, то она образовывала бы квадратик 2×2 с предыдущей доминошкой.
Рассматривая далее доминошки, покрывающие поля b3, c3, c4, d4, d5, ..., мы построим "лесенку" чередующихся горизонтальных и вертикальных доминошек, занимающих пары полей (b2,c2),(b3,b4),(c3,d3),(c4,c5),(d4,e4), ..., (g7,h7). После этого остается замкнутое пространство из двух клеток g8, h8, которое должно заниматься одной доминошкой, образующей квадратик 2×2 с доминошкой (g7,h7).
Тем самым доказано, что квадратик 2×2 найдется в любом случае.

Ответ

нельзя.

Прислать комментарий

Незнайка разместил без наложений в квадрате 10*10 только 13 фигур ("скобок"), изображённых на рисунке. Попробуйте разместить больше.

Ответ

Можно разместить 14, 15 или даже 16 "скобок". Больше разместить нельзя, так как 17 "скобок" занимают уже 102 клетки.

Прислать комментарий

Режем прямоугольник. Клетчатый прямоугольник разрезали на прямоугольники 1 х 2 (доминошки) так, что любая прямая, идущая по линиям сетки, рассекает кратное четырем число доминошек. Докажите, что длина одной из сторон делится на 4.

Решение

Для каждой прямой, идущей по линиям сетки, напишем число доминошек, которые она рассекает, и все выписанные числа сложим. Очевидно, сумма будет делится на 4. Т.к. каждую доминошку рассекает ровно одна прямая, то полученная сумма равна общему числу доминошек. Итак, количество доминошек делится на 4, значит, площадь прямоугольника делится на 8. Поэтому длина одной из сторон делится на 4.

Прислать комментарий

Сложите из фигур, изображённых на рисунке, а) квадрат размером 9×9 с вырезанным в его центре квадратом 3×3; б) прямоугольник размером 9×12.

(Фигуры можно не только поворачивать, но и переворачивать.)

Подсказка

Не забудьте, что фигурки можно переворачивать.

Ответ

 См. рисунки.

Прислать комментарий

В квадрате 7×7 клеток размещено 16 плиток размером 1×3 клетки и одна плитка 1×1.
Докажите, что плитка 1×1 либо лежит в центре, либо примыкает к границам квадрата.

Подсказка

В каждой клетке запишем номер её столбца. Тогда сумма чисел в любой плитке 1×3 будет делиться на 3.

Решение

В каждой клетке запишем число, равное номеру её столбца. Тогда сумма чисел во всех клетках  7(1 + 2 + ... + 7) ≡ 1 (mod 3).  С другой стороны, сумма чисел в каждой плитке 1×3 будет кратна 3. Таким образом, в плитке 1×1 должно быть написано число, которое дает остаток 1 от деления на 3. Значит, плитка 1×1 может находиться только в первом, четвёртом или седьмом столбце. Точно также показывается, что она может находиться только в первой, четвёртой или седьмой строке. Отсюда сразу следует утверждение задачи.

Прислать комментарий

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 121]