Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 6,7,8,9
|
Несколько человек построились в два ряда. Каждый во втором
ряду выше стоящего перед ним. Доказать, что если каждый ряд
построить по росту, то это свойство сохранится.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В Швамбрании N городов, каждые два соединены дорогой. При этом дороги
сходятся лишь в городах (нет перекрёстков, одна дорога поднята эстакадой над
другой). Злой волшебник устанавливает на всех дорогах одностороннее движение
таким образом, что если из города можно выехать, то в него нельзя вернуться.
Доказать, что
а) волшебник может это сделать;
б) найдётся город, из которого можно добраться до всех, и
найдётся город, из которого нельзя выехать;
в) существует единственный путь, обходящий все города;
г) волшебник может осуществить своё намерение N! способами.
Натуральные числа от 1 до n расставляются в ряд в произвольном
порядке. Расстановка называется плохой, если в
ней можно отметить 10 чисел (не обязательно стоящих подряд), идущих
в
порядке убывания. Остальные расстановки называются хорошими.
Докажите,
что количество хороших расстановок не превосходит 81n.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Натуральные числа от 1 до 100 раскрашены в три цвета: 50 чисел – в красный, 25 чисел – в жёлтый и 25 – в зелёный. Известно, что все красные и жёлтые числа можно разбить на 25 троек так, чтобы в каждой тройке было два красных числа и одно жёлтое, которое больше одного красного и меньше другого. Аналогичное утверждение верно для красных и зелёных чисел. Обязательно ли все 100 чисел можно разбить на 25 четвёрок, в каждой из которых два красных числа, одно жёлтое и одно зелёное, при этом жёлтое и зелёное числа лежат между красными?
В классе 30 учеников, и у каждого из них одинаковое число друзей среди одноклассников. Каково наибольшее возможное число учеников, которые учатся лучше большинства своих друзей? (Про любых двух учеников в классе можно сказать, кто из них учится лучше; если A учится лучше B, а тот – лучше C, то A учится лучше C.)
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]
Фильтр
