Фильтр
Задачи
Задача 78497 |
|
|
По аллее длиной 100 метров идут три человека со скоростями 1, 2 и 3 км/ч. Дойдя до конца аллеи, каждый из них поворачивает и идёт назад с той же скоростью. Доказать, что найдётся отрезок времени в 1 минуту, когда все трое будут идти в одном направлении.
Решение
Будем измерять время в минутах. Первый пешеход проходит, аллею за 6 минут, второй – за 3, третий – за 2. Покажем сначала, что найдётся отрезок времени длины 3, когда первый и второй пешеходы двигались в одном направлении.
Пусть t1 – произвольный поворот первого пешехода. Рассмотрим ближайший момент t2 > t1, когда произошёл поворот второго пешехода. Ясно, что в течении отрезка времени [t2, t2 + 3], когда второй пешеход проходил целиком всю аллею, первый также не успел повернуть. Если при этом два пешехода двигались в одном направлении, то отрезок [t2, t2 + 3] – искомый. Иначе искомый отрезок – [t2 + 6, t2 + 9]. Будем считать, что реализуется первая из этих ситуаций (иначе заменим t2 на t2 + 6).
Докажем теперь утверждение задачи. Пусть t3 > t2 – ближайший момент, когда повернул третий пешеход. Рассуждая аналогично предыдущему, мы видим, что один из отрезков [t3, t3 + 1], [t3 + 4, t3 + 5] или [t3 + 9, t3 + 10] – искомый.
|
|
Задача 110052 |
|
|
Путь от платформы A до платформы B электропоезд прошел за X минут (0 < X < 60). Найдите X, если известно, что как в момент отправления от A, так и в момент прибытия в B угол между часовой и минутной стрелками равнялся X градусам.
Решение
Поскольку между двумя последовательными обгонами часовой стрелки минутной проходит более часа, то за указанное время движения электропоезда произошло не более одного обгона. Обозначим через O центр циферблата, через TA и TB – точки, в которых находился конец часовой стрелки в моменты прохождения электропоездом платформ A и B соответственно, а через MA и MB – точки, где в эти моменты находился конец
минутной стрелки. Заметим также, что за X минут часовая стрелка повернулась на X/2, а минутная – на 6X градусов. Тогда, если минутная стрелка обогнала часовую, то точки TA, TB, MA и
MB располагаются друг относительно друга так, как на рисунке слева.
При этом должно выполняться равенство 6X = X + X + X/2, откуда X = 0, что противоречит условию задачи.
Если же обгона не было, то TA, TB, MA и MB располагаются так, как на рисунке справа, и должно выполняться равенство
360 – 6X = X + X – X/2, откуда X = 48.
Ответ
X = 48.
|
|
|
Задача 73652 |
|
|
Несколько человек в течение t минут наблюдали за улиткой. Каждый наблюдал за ней ровно 1 минуту и заметил, что за эту минуту улитка проползла ровно 1 метр. Ни в один момент времени улитка не оставалась без наблюдения. Какой наименьший и какой наибольший путь могла она проползти за эти t минут?
Решение
На рис. 1 изображен график, показывающий, что за 2,5 минуты улитка может проползти 4 м.
2(t – 1) м, если t – целое, и 2[t], если t – не целое.
Докажем, что это – максимальное перемещение улитки.
Пусть a1 – первый наблюдатель. Рассмотрим всех наблюдателей, которые начали следить за улиткой либо в тот момент, когда кончил a1, либо ещё раньше (по условию такие наблюдатели есть). Пусть a2 – последний из таких наблюдателей. Рассмотрим, далее, всех наблюдателей, начавших следить за улиткой не позже, чем кончил a2, и обозначим через a3 последнего из них. Аналогично выберем наблюдателя a4 и т.д. Очевидно, что в конце концов мы дойдём до наблюдателя, окончившего наблюдать как раз в конце последней минуты (если наблюдатель ak кончил наблюдать раньше, то имеются наблюдатели, начавшие следить позже, чем начал ak, а потому можно выбрать наблюдателя ak+1).
Пусть a1, a2, ..., ak – все выбранные таким образом наблюдатели. Ясно, что промежутки наблюдения a1, a3, a5, ... не пересекаются; точно так же не пересекаются промежутки, в которых следили наблюдатели a2, a4, a6, ...
Действительно, если бы, например, нашёлся момент времени, когда наблюдали a1 и a3, то это означало бы, что наблюдатель a2 выбран неправильно, так как a3 начал наблюдать позже, чем начал a2, но ещё до того, как кончил a1.
Так как промежутки наблюдения a1, a3, a5, ... не пересекаются, то этих наблюдателей за t минут меньше t. Поэтому если t – целое, их не больше
t – 1, а если t не целое, то не больше [t]. Тем же числом ограничивается количество наблюдателей "чётной группы": a2, a4, a6, ...
Так как выделенное множество наблюдателей покрывает весь интервал наблюдения, то улитка не могла проползти больше суммы перемещений, зафиксированных всеми наблюдателями, то есть больше 2(t – 1), если t – целое, и 2[t] – если не целое).
Оценим теперь число "нечётных" наблюдателей снизу. Если все зазоры между соседними нечётными наблюдателями меньше единицы, то число нечётных наблюдателей должно быть больше [t/2]. Это означает, что улитка не могла проползти путь, меньший [t/2] + 1. На рис.2 показано, как должна двигаться улитка, чтобы этот минимум был достигнут.
Ответ
[t/2] + 1 метр; 2(t – 1) метров, если t – целое, 2[t] метров, если t – не целое.
|
|
|
Задача 116649 |
|
|
По шоссе в одном направлении едут 10 автомобилей. Шоссе проходит через несколько населённых пунктов. Каждый из автомобилей едет с некоторой постоянной скоростью в населённых пунктах и с некоторой другой постоянной скоростью вне населённых пунктов. Для разных автомобилей эти скорости могут отличаться. Вдоль шоссе расположено 2011 флажков. Известно, что каждый автомобиль проехал мимо каждого флажка, причём около флажков обгонов не происходило. Докажите, что мимо каких-то двух флажков автомобили проехали в одном и том же порядке.
Решение
Введём в пространстве систему координат Oxyt. Обозначим через M точку шоссе, в которой в начальный момент находится первый автомобиль. Каждой точке шоссе A сопоставим точку TA(xA, yA) на плоскости Oxy, где xA – суммарная длина участков пути AM в населённых пунктах, а yA – вне населённых пунктов. Тогда шоссе изображается некоторой ломаной на этой плоскости.
Для i-й машины нарисуем график её движения, состоящий из всех точек XiA = (xA, yA, tiA), где tiA – момент времени, в который эта машина находилась в точке A. Если эта машина была в точке M в момент ti, а её скорости в населённых пунктах и вне их равны ui и vi,
то и, следовательно, весь график движения i-й машины лежит в плоскости
Обозначим эту плоскость через αi.
Рассмотрим все прямые lij. Поскольку их количество не больше
|
|
|
Задача 97795 |
|
|
Пешеход шёл 3,5 часа, причём за каждый промежуток времени в один час он
проходил ровно 5 км.
Следует ли из этого, что его средняя скорость за всё время равна 5 км/час?
Решение
Пусть пешеход идёт полчаса со скоростью 10 км/ч, затем полчаса отдыхает и т. д. Тогда за каждый час он будет проходить ровно 5 км, а всего пройдёт 20 км (поскольку идти он будет четыре получасовых интервала). Средняя скорость при этом равна 20 : 3,5 > 5 км/ч.
Ответ
Не следует.
|
|
|
Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 153]
