Две окружности радиуса R пересекаются в точках M и N. Пусть A и B — точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку MN с этими окружностями, лежащие по одну сторону от прямой MN. Докажите, что MN² + AB² = 4R².

   Решение

Темы:    [ Подсчет двумя способами ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан набор, состоящий из таких 1997 чисел, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных, то получится тот же набор.
Докажите, что произведение чисел в наборе равно 0.

Решение

Пусть сумма чисел в наборе равна M, тогда число a из набора заменяется на число  b = M – a.  Просуммируем эти равенства для всех a:
b₁ + ... + b₁₉₉₇ = 1997M – (a₁ + ... + a₁₉₉₇),  откуда  M = 0,  так как   b₁ + ... + b₁₉₉₇ = a₁ + ... + a₁₉₉₇ = M.  Значит, для любого a число  b = – a  также входит в набор и все числа разбиваются на пары  (a, – a).  Из нечётности их количества следует, что в набор входит число  a = – a,  то есть  a = 0.

Источники и прецеденты использования