Информация о задаче

Задача 107755

Темы:	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Чеканов Ю.В.

У Коли есть отрезок длины k, а у Лёвы — отрезок длины l. Сначала Коля делит свой отрезок на три части, а потом Лёва делит на три части свой отрезок. Если из получившихся шести отрезков можно сложить два треугольника, то выигрывает Лёва, а если нет — Коля. Кто из играющих, в зависимости от отношения k/l, может обеспечить себе победу, и как ему следует играть?

Решение

Первый случай. Если k > l, то выигрывает Коля: ему достаточно отрезать от k часть, которая будет больше суммы всех остальных.

Например, можно разрезать k на части (рис.)

l + $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ (k - l ), $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ (k - l ), $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ (k - l ).

Тогда самая большая часть l + ${\frac{2}{3}}$ (k - l ) не может быть стороной никакого треугольника: по неравенству треугольника сумма длин двух остальных сторон должна быть больше, но сумма длин всех остальных отрезков (равная l + ${\frac{1}{3}}$ (k - l )) меньше длины этой части.

Второй случай. Если k $\le$ l, то выигрывает Лёва. Пусть Коля разрезал k на части k₁ $\ge$ k₂ $\ge$ k₃. Тогда Лёва разрежет l так, чтобы его большая часть равнялась большей части отрезка Коли, а две другие были равными между собой (рис.):

l = k₁ + $\displaystyle {\frac{l-k_1}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{l-k_1}{2}}$ .

Тогда получатся два равнобедренных треугольника:

(k₁, k₁, k₂), $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{l-k_1}2,\frac{l-k_1}2,k_3}\right.$ $\displaystyle {\frac{l-k_1}{2}}$ , $\displaystyle {\frac{l-k_1}{2}}$ , k₃ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{l-k_1}2,\frac{l-k_1}2,k_3}\right)$

Действительно, из отрезков a, a, b можно сложить равнобедренный треугольник тогда и только тогда, когда b < 2a. Очевидно, что k₂ < 2k₁. С другой стороны,

2^. $\displaystyle {\frac{l-k_1}{2}}$ = l - k₁ > k₃,

так как k₁ + k₃ < k $\le$ l.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	57
Год	1994
вариант
Класс	9
задача
Номер	2