Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан треугольник ABC и точки X, Y, не лежащие на его описанной окружности Ω. Пусть A₁, B₁, C₁ – проекции X на BC, CA, AB, а A₂, B₂, C₂ – проекции Y. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из A₁, B₁, C₁ на, соответственно, B₂C₂, C₂A₂, A₂B₂, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда прямая XY проходит через центр Ω.

   Решение

Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Объем призмы ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Плоскость, проходящая через ребро AD и середину E ребра BC тетраэдра ABCD , образует углы α и β с гранями ACD и ABD этого тетраэдра. Найдите объём тетраэдра, если известно, что AD = a , а площадь треугольника ADE равна S .

Решение

Достроим тетраэдр ABCD до треугольной призмы ABCDB1C1 (рис.1) ( AD || BB1 || CC1) . Через точку E проведём плоскость, перпендикулярную AD . Пусть эта плоскость пересекает прямые AD , BB1 и CC1 в точках M , P и Q соответственно. Тогда PQM – перпендикулярное сечение призмы ABCDB1C1 , точка E – середина PQ , EMQ = α , EMP = β . Объём призмы ABCDB1C1 равен произведению площади перпендикуляного сечения на боковое ребро, а объём пирамиды ABCD составляет треть объёма призмы. В треугольнике PQM (рис.2) известна медиана ME = = и углы, которые она образует со сторонами MQ и MP . На продолжении этой медианы за точку E отложим отрезок EN , равный ME . По теореме синусов из треугольника MPN находим, что

PM = = · .
Поэтому
S_{Δ PQM} = S_{Δ MPN} = PM· MN sin β = · · .
Следовательно,
V_ABCD = V_ABCDB1C1 = · · · a = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования