Пусть $f(x)=x^2+3x+2$. Вычислите $$\Bigl(1-\frac{2}{f(1)}\Bigr)\Bigl(1-\frac2{f(2)}\Bigr)\Bigl(1-\frac2{f(3)}\Bigr)\ldots\Bigl(1-\frac2{f(2019)}\Bigr).$$

   Решение

В окружность вписан выпуклый 7-угольник. Известно, что какие-то три его угла равны 120^o. Доказать, что найдутся две его стороны, имеющие одинаковую длину.

   Решение

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

ABC – равнобедренный прямоугольный треугольник. На продолжении гипотенузы AB за точку A взята точка D так, что  AB = 2AD. Точки M и N на стороне AC таковы, что  AM = NC.  На продолжении стороны CB за точку B взята такая точка K, что  CN = BK.  Найдите угол между прямыми NK и DM.

Решение

Пусть L – проекция M на AB. Заметим, что  ;  поэтому и  .  Значит, прямоугольные треугольники MLD и NCK подобны, и  ∠MDL = ∠NKC  (см. рис.). Поэтому угол между прямыми NK и MD равен углу между прямыми KC и LD, то есть 45°.

Ответ

45°.

Источники и прецеденты использования