Бак был полон воды. Эту воду поровну перелили в три бидона. Оказалось, что в первом бидоне вода заняла половину его объёма, во втором бидоне вода заняла ⅔, а в третьем бидоне – ¾ его объёма. Бак и все три бидона вмещают по целому числу литров. При каком наименьшем объёме бака возможна такая ситуация?

   Решение

Темы:    [ Квадратные неравенства и системы неравенств ] [ Иррациональные неравенства ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для любого натурального числа  n > 10000  найдётся такое натуральное число m, представимое в виде суммы двух квадратов, что
 0 < m – n < 3 .

Решение

  Пусть x – наибольшее целое число, квадрат которого не превосходит n:  x² ≤ n < (x + 1)².  Так как n – целое,  n – x² ≤ 2x ≤ 2 .
  Пусть y – наименьшее натуральное число, квадрат которого больше  n – x²:  (y – 1)² ≤ n – x² < y².  Тогда
y = (y – 1) + 1 ≤    + 1  ≤    + 1  =     + 1.  Ясно, что  m = x² + y² > n.  С другой стороны,
m – n = x² + y² – n = y² – (n – x²) ≤ y² – (y – 1)² = 2y – 1 ≤  2   + 1.  Осталось заметить, что  0 <  2   + 1 < 3   при n > 10000.

Источники и прецеденты использования