В Солнечной долине 10 посёлков. Однажды статистики долины провели исследование численности жителей в посёлках. Обнаружили следующее.
  1. Число жителей в любых двух посёлках долины отличается не более чем на 100 человек.
  2. В посёлке Знойное ровно 1000 жителей, что превышает среднюю численность населения посёлков долины на 90 человек.
Сколько жителей в посёлке Радужный, который также расположен в Солнечной долине?

   Решение

Темы:    [ Длины сторон (неравенства) ] [ Окружности (прочее) ] [ Окружности (построения) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Через две точки, лежащие в круге, провести окружность, лежащую целиком в том же круге.

Подсказка

Центр такой окружности можно выбрать на одном из отрезков, соединяющих данные точки с центром круга.

Решение

Соединим данные точки A и B с центром данного круга O и проведем серединный перпендикуляр отрезка AB до пересечения с одной из сторон OA или OB в точке O'. Пусть для определенности O' лежит на OB. Окружность с центром в точке O' и радиусом O'B будет искомой. Для доказательства этого возьмем любую точку C на этой окружности и рассмотрим треугольник OO'C. В этом треугольнике OC не больше OO'+O'C=OO'+O'B=OB (по неравенству треугольника), а OB не превосходит радиуса первоначального круга.

Источники и прецеденты использования