Высота четырехугольной пирамиды SABCD проходит через точку пересечения диагоналей ее основания ABCD . Из вершин основания опущены перпендикуляры AA1 , BB1 , CC1 , DD1 на прямые SC , SD , SA и SB соответственно. Оказалось, что точки S , A1 , B1 , C1 , D1 различны и лежат на одной сфере. Докажите, что прямые AA1 , BB1 , CC1 , DD1 проходят через одну точку.

   Решение

Темы:    [ Радикальная ось ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Шестиугольники ]

Сложность: 6 Классы: 8,9,10 Название задачи: Теорема Брианшона.

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что диагонали AD, BE и CF описанного шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке (Брианшон).

Решение

Пусть выпуклый шестиугольник ABCDEF касается окружности в точках  R, Q, T, S, P, U (точка R лежит на AB, Q — на BC и т. д.).
Выберем произвольное число a > 0 и построим на прямых BC и EF точки Q' и P' так, что QQ' = PP' = a, а векторы  и  сонаправлены с векторами  и  . Аналогично строим точки  R', S', T', U' (рис.;  RR' = SS' = TT' = UU' = a). Построим окружность S₁, касающуюся прямых BC и EF в точках Q' и P'. Аналогично построим окружности S₂ и S₃.
Докажем, что точки B и E лежат на радикальной оси окружностей S₁ и S₂.  BQ' = QQ' - BQ = RR' - BR = BR' (если QQ' < BQ, то  BQ' = BQ - QQ' = BR - RR' = BR') и  EP' = EP + PP' = ES + SS' = ES'. Аналогично доказывается, что прямые FC и AD являются радикальными осями окружностей S₁ и S₃, S₂ и S₃ соответственно. Так как радикальные оси трех окружностей пересекаются в одной точке, прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования