Функция f такова, что для любых положительных x и y выполняется равенство f(xy) = f(x) + f(y) . Найдите f(2007) , если f() = 1 .

   Решение

Число Y получается из натурального числа X некоторой перестановкой его цифр. Известно, что  X + Y = 10²⁰⁰.  Доказать, что X делится на 50.

   Решение

Тема:    [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Даны четыре окружности  S₁, S₂, S₃ и S₄, причем окружности S_i и S_{i + 1} касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 (S₅ = S₁). Докажите, что точки касания образуют вписанный четырехугольник.

Решение

Пусть O_i — центр окружности S_i, A_i — точка касания окружностей S_i и S_{i + 1}. Четырехугольник  O₁O₂O₃O₄ выпуклый; пусть  ,, и  — величины его углов. Легко проверить, что  A_{i - 1}A_iA_{i + 1} = ( + )/2, поэтому A₁ + A₃ = ( + + + )/2 = A₂ + A₄.

Источники и прецеденты использования