|
|
 |
Условие
Число Y получается из натурального числа X некоторой перестановкой его цифр. Известно, что X + Y = 10200. Доказать, что X делится на 50.
Решение
Лемма. Пусть число Y получается из числа X некоторой перестановкой его цифр и X + Y = 10k. Тогда оба числа X и Y кратны 5.
Доказательство. Если X оканчивается нулем, то все очевидно. Пусть последняя цифра числа X не 0, тогда и последняя цифра числа Y – не 0. Набор цифр числа Y – 1 отличается от набора цифр числа Y (а значит, и числа X) только в последней цифре a (Y – 1 оканчивается на a, а Y – на a + 1), а сумма
X + (Y – 1) = 9...9. Заметим, что для каждого k = 0, 1, ..., 9 количество цифр k в числе X
равно количеству цифр 9 – k в числе Y – 1 (каждой цифре k числа X можно поставить в соответствие цифру числа Y – 1, стоящую в том же разряде. В частности, количество цифр 9 – a в числе X равно количеству цифр a в числе Y – 1, а значит, на единицу больше количества цифр a в числе X. С другой стороны, количество цифр a в числе X равно количеству цифр 9 – a в числе Y – 1. Таким образом, количество цифр 9 – a в числе X на единицу больше количества этих цифр в числе Y – 1, а значит, 9 – a = a + 1, откуда a = 4, то есть последняя цифра числа X – это 5.
Если число X не делится на 50, то одна из двух последних его цифр отлична от нуля. Если последняя цифра не равна нулю, то по лемме и X, и Y оканчиваются на 5. Следовательно, обозначив через X' и Y' числа, получающиеся из X и Y отбрасыванием последней цифры, получим X' + Y' = 9...9 (199 девяток), что невозможно (см. задачу 97958). Следовательно, X делится на 10. Применяя доказанную лемму к числам X' и Y', получаем, что X делится на 50.
