Версия для печати
Убрать все задачи

---

Уголком размера n×m , где m,n2 , называется фигура, получаемая из прямоугольника размера n×m клеток удалением прямоугольника размера (n-1)×(m-1) клеток. Два игрока по очереди делают ходы, заключающиеся в закрашивании в уголке произвольного ненулевого количества клеток, образующих прямоугольник или квадрат. Пропускать ход или красить одну клетку дважды нельзя. Проигрывает тот, после чьего хода все клетки уголка окажутся окрашенными. Кто из игроков победит при правильной игре?

   Решение

Темы:    [ Теорема Виета ] [ Кубические многочлены ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В каком из двух уравнений сумма квадратов корней больше
  а)  4x³ – 18x² + 24x = 8,     4x³ – 18x² + 24x = 9;
  б)  4x³ – 18x² + 24x = 11,     4x³ – 18x² + 24x = 12?

Решение

  По формулам Виета сумма квадратов корней каждого из четырёх уравнений, включая комплексные, равна  (¹⁸/₄)² – 2·6 = 8,25.  Найдем количество действительных корней каждого из уравнений.
  Производная функции  f(x) = 4x³ – 18x² + 24x  равна  12(x² – 3x + 2)  и обращается в ноль в точках  x₁ = 1  и  x₂ = 2.  При этом  f(1) = 10,
f(2) = 8.

  а) Оба уравнения имеют по три корня (у второго есть кратный корень  x₂ = 2).  Поэтому суммы их квадратов одинаковы.

  б) Оба уравнения имеют по одному корню, причем в силу возрастания функции f на участке  (2, + ∞)  корень второго уравнения больше.

Ответ

а) Одинакова;  б) у второго уравнения больше.

Источники и прецеденты использования