Версия для печати
Убрать все задачи

---

Бесконечная последовательность чисел x_n определяется условиями:  x_n+1 = 1 – |1 – 2x_n|,  причём  0 ≤ x₁ ≤ 1.
  а) Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том и только в том случае, когда x₁ рационально.
  б) Сколько существует значений x₁, для которых эта последовательность – периодическая с периодом T (для каждого T = 2, 3, ...)?

   Решение

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в правильном двенадцатиугольнике A₁A₂...A₁₂ диагонали A₁A₅, A₂A₆, A₃A₈ и A₄A₁₁ пересекаются в одной точке.

Решение

Рассмотрим треугольник A₂A₄A₈. Прямые A₂A₆, A₃A₈ и A₄A₁₁ — биссектрисы его углов. Точно так же прямые A₃A₈, A₅A₁ и A₁₁A₄ – биссектрисы углов треугольника A₃A₅A₁₁. Отсюда следует, что диагонали A₁A₅, A₂A₆, A₃A₈ и A₄A₁₁ проходят через одну точку.

Замечания

В "Задачнике Кванта" задача была в следующей формулировке:
  Докажите, что в правильном двенадцатиугольнике существуют четыре диагонали, не проходящие через центр многоугольника и пересекающиеся в одной точке.

Источники и прецеденты использования