Версия для печати
Убрать все задачи

---

Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $S$. Точки $X$, $Y$ на биссектрисе угла $S$ таковы, что $\angle AXC-\angle AYC=\angle ASC$. Докажите, что $\angle BXD-\angle BYD=\angle BSD$.

   Решение

Темы:    [ Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек ] [ Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. ] [ Перенос помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В каком месте следует построить мост MN через реку, разделяющую две данные деревни A и B, чтобы путь AMNB из деревни A в деревню B был кратчайшим (берега реки считаются параллельными прямыми, мост предполагается перпендикулярным к реке).

Подсказка

Рассмотрите образы точек A и M при параллельном переносе на вектор и воспользуйтесь неравенством треугольника.

Решение

Предположим, что некоторое положение моста найдено. При параллельном переносе на вектор точка A перейдёт в некоторую точку A₁, а точка M — в точку N. Тогда

(неравенство треугольника), причём равенство достигается, если точки A₁, N и B лежат на одной прямой, т.е. BN || AM.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Отложим от точки A отрезок AA₁, по величине равный ширине реки и перпендикулярный к её направлению, соединим точку A₁ с точкой B. Точка N, полученная при пересечении A₁B с более близким к B берегом реки, определит положение моста.

Источники и прецеденты использования