Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66983
Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке S. Точки X, Y на биссектрисе угла S таковы, что AXCAYC=ASC. Докажите, что BXDBYD=BSD.

Решение

Пусть C – точка, симметричная C относительно SX, Y – такая точка на луче CX, что SXSY=SBSD=SASC. Тогда SXSY=SCSA, т.е. X, Y, A, C лежат на одной окружности. Следовательно, AYS=SCX=SCX. Аналогично XYC=SAX, значит AXC=SAX+SCX+ASC=AYC+ASC и Y совпадает с Y. Тогда аналогично получаем, что ASD=BXDBYD.

Замечания

Можно также показать, что XAY=XCY, XBY=XDY.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2021
класс
Класс 10
задача
Номер 10.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .