Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Из 19 шаров 2 радиоактивны. Про любую кучку шаров за одну проверку можно узнать, имеется ли в ней хотя бы один радиоактивный шар (но нельзя узнать, сколько их). Доказать, что за 8 проверок всегда можно выделить оба радиоактивных шара.

б) Из 11 шаров два радиоактивны. Доказать, что менее чем за 7 проверок нельзя гарантировать нахождение обоих радиоактивных шаров,
а за 7 проверок их всегда можно обнаружить.

   Решение

Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Касающиеся окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Окружность S касается окружностей S₁ и S₂ в точках A₁ и A₂.
Докажите, что прямая A₁A₂ проходит через точку пересечения общих внешних или общих внутренних касательных к окружностям S₁ и S₂.

Решение

Пусть O, O₁ и O₂ – центры окружностей S, S₁ и S₂; X – точка пересечения прямых O₁O₂ и A₁A₂. Применяя теорему Менелая к треугольнику OO₁O₂ и точкам A₁, A₂ и X, получаем    а значит,  O₁X : O₂X = R₁ : R₂,  где R₁ и R₂ – радиусы окружностей S₁ и S₂. Следовательно, X – точка пересечения общих внешних или общих внутренних касательных к окружностям S₁ и S₂.

Источники и прецеденты использования