Перед Шариком лежит бесконечное число котлет, на каждой сидит по мухе. На каждом ходу Шарик последовательно делает две операции:

1) съедает какую-то котлету вместе со всеми сидящими на ней мухами;

2) пересаживает одну муху с одной котлеты на другую (на котлете может быть сколько угодно мух).

Шарик хочет съесть не более миллиона мух. Докажите, что он не может действовать так, чтобы каждая котлета была съедена на каком-то ходу.

   Решение

Докажите, что точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон квадрата, являются вершинами некоторого квадрата.

   Решение

Темы:    [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Два квадрата BCDA и BKMN имеют общую вершину B. Докажите, что медиана BE треугольника ABK и высота BF треугольника CBN лежат на одной прямой. (Вершины обоих квадратов перечислены по часовой стрелке.)

Решение

Рассмотрим поворот на 90^o относительно точки B, переводящий вершину K в вершину N, а вершину C — в A. При этом повороте точка A переходит в некоторую точку A' точка E — в E'. Так как E' и B — середины сторон A'N и A'C треугольника A'NC, то BE'| NC. Но EBE' = 90^o, поэтому BE NC.

Источники и прецеденты использования