Версия для печати
Убрать все задачи

---

10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причем известно, что среди них есть школьники, решившие ровно одну задачу, школьники, решившие ровно две задачи и школьники, решившие ровно три задачи. Докажите, что есть школьник, решивший не менее пяти задач.

   Решение

---

Известно, что     где  x > 0,  y > 0,  z > 0.  Докажите, что  

   Решение

---

Назовем натуральное число "изумительным", если оно имеет вид a^b + b^a (где a и b - натуральные числа). Например, число 57 - изумительное, так как 57 = 2⁵ + 5². Является ли изумительным число 2006?

   Решение

---

Существует ли арифметическая прогрессия из пяти различных натуральных чисел, произведение которых есть точная 2008-я степень натурального числа?

   Решение

---

Найдите все углы α , для которых набор чисел sinα , sin2α , sin3α совпадает с набором cosα , cos2α , cos3α .

   Решение

Темы:    [ Векторное произведение ] [ Линейные зависимости векторов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a , боковое ребро образует с плоскостью основания угол α . Найдите радиус описанного шара.

Решение

Рассмотрим сечение правильной треугольной пирамиды ABCP ( P – вершина пирамиды) плоскостью, проходящей через точки P , A и M (центр основания ABC ). В этой плоскости расположен центр описанной сферы, поэтому секущая плоскость пересекает сферу по окружности, радиус которой равен радиусу R описанной сферы. Продолжим отрезок AM за точку M до пересечения с этой окружностью в точке A1 . Тогда равнобедренный треугольник APA1 вписан в окружность радиуса R . Из прямоугольного треугольника PMA находим, что

AP = = ,
а т.к. PA1 = PA , по известной формуле для радиуса описанной окружности (теорема синусов) находим, что
R = = = = .


Рассмотрим сечение правильной треугольной пирамиды ABCP ( P – вершина пирамиды) плоскостью, проходящей через точки P , A и M (центр основания ABC ). В этой плоскости расположен центр описанной сферы, поэтому секущая плоскость пересекает сферу по окружности, радиус которой равен радиусу R описанной сферы. Продолжим отрезок PM за точку M до пересечения с этой окружностью в точке Q . Поскольку PQ – диаметр окружности, PAQ = 90^o , а AM – высота прямоугольного треугольника PAQ , проведённая из вершины прямого угла. Значит, MA2 = PM· MQ , или
()2 = tg α (2R- tg α),
Откуда находим, что
R = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования