На рисунке изображен параллелограмм и отмечена точка P пересечения его диагоналей. Проведите через P прямую так, чтобы она разбила параллелограмм на две части, из которых можно сложить ромб.

   Решение

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Описанная окружность треугольника AOB касается прямой BC.
Докажите, что описанная окружность треугольника BOC касается прямой CD.

   Решение

Тема:    [ Логика и теория множеств (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Среди зрителей кинофестиваля было поровну мужчин и женщин. Всем зрителям понравилось одинаковое количество фильмов. Каждый фильм понравился восьми зрителям. Докажите, что не менее $3/7$ фильмов обладают следующим свойством: среди зрителей, которым фильм понравился, не менее двух мужчин.

Решение

Обозначим количество фильмов за $n$. Представим, что человек купил билеты на те фильмы, которые ему понравились. Тогда всего продано $8n$ билетов, причем поскольку мужчинам и женщинам продано одинаковое количество билетов, то $4n$ билетов купили мужчины и $4n$ — женщины. Тогда фильмов, на которых хотя бы $7$ из $8$ билетов продано женщинам, не более чем $\frac{4n}{7}$, значит, других хотя бы $n-\frac{4n}{7}=\frac{3}{7}n$, а это и есть фильмы, понравившиеся хотя бы 2 мужчинам.

Источники и прецеденты использования