Задача 108151

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Заславский А.А.

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Описанная окружность треугольника AOB касается прямой BC.
Докажите, что описанная окружность треугольника BOC касается прямой CD.

Подсказка

Примените теорему об угле между касательной и хордой, а затем обратную теорему.

Решение 1

По теореме о секущей и касательной  CB² = CA·CO = ½ CA².  Из того, что в параллелограмме сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей, отсюда легко выводится равенство  DC² = ½ DB² = DB·DO.  Таким образом, произведение секущей DB на ее внешнюю часть DO равно квадрату отрезка DC. По той же теореме этот отрезок является касательной.

Решение 2

Из теоремы об угле между касательной хордой следует, что  ∠CBO = ∠BAO = ∠BAC = ∠ACD = ∠OCD.  По теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, CD – касательная к окружности, проходящей через точки B, O, C.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	62
Год	1999
вариант
Класс	9
задача
Номер	3
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1999
выпуск
Номер	2
Задача
Номер	М1677
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1998/1999
Номер	20
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	2
web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6501