ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 108151  (#М1677)

Темы:   [ Угол между касательной и хордой ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Окружность, проходящая через точки A, O, B касается прямой BC.
Докажите, что окружность, проходящая через точки B, O, C, касается прямой CD.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98409  (#М1683)

Темы:   [ Правило произведения ]
[ Степень вершины ]
[ Связность и разложение на связные компоненты ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Гришин А.

Имеется 20 бусинок десяти цветов, по две бусинки каждого цвета. Их как-то разложили в 10 коробок. Известно, что можно выбрать по бусинке из каждой коробки так, что все цвета будут представлены. Докажите, что число способов такого выбора есть ненулевая степень двойки.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98441  (#М1684)

Темы:   [ Комбинаторика (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

2n радиусов разделили круг на 2n равных секторов: n синих и n красных, чередующихся в произвольном порядке. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до n. В красные сектора, начиная с некоторого, записывают те же числа, но по ходу часовой стрелки. Докажите, что найдётся полукруг, в котором записаны все числа от 1 до n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98420  (#М1687)

 [Багаж в Московском метрополитене]
Темы:   [ Длины и периметры (геометрические неравенства) ]
[ Прямоугольные параллелепипеды ]
[ Проектирование помогает решить задачу ]
[ Боковая поверхность параллелепипеда ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Шень А.Х.

Будем называть "размером" прямоугольного параллелепипеда сумму трёх его измерений – длины, ширины и высоты.
Может ли случиться, что в некотором прямоугольном параллелепипеде поместился больший по размеру прямоугольный параллелепипед?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98421  (#М1688)

Темы:   [ Замена переменных ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
[ Разрывы функций ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10

Дана функция    ,   где трёхчлены  x² + ax + b  и  x² + cx + d  не имеют общих корней. Докажите, что следующие два утверждения равносильны:
  1) найдётся числовой интервал, свободный от значений функции;
  2)  f(x) представима в виде:  f(x) = f1(f2(...fn–1(fn(x))...)),  где каждая из функций  fi(x) есть функция одного из видов:   kix + bi, x–1, x².

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .