Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка M так, что точка пересечения медиан треугольника ABM лежит на описанной окружности треугольника ACM , а точка пересечения медиан треугольника ACM лежит на описанной окружности треугольника ABM . Докажите, что медианы треугольников ABM и ACM из вершины M равны.

   Решение

Темы:    [ Метод координат в пространстве ] [ Уравнение плоскости ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки A(-3;0;1), B(2;1;-1) и C(-2;2;0) .

Решение

Найдём координаты векторов и :

= (2-(-3); 1-0; -1-1) = (5; 1; -2 ),

= (-2-(-3); 2-0; 0-1) = (1; 2; -1 ).
Пусть = (a; b; c) – ненулевой вектор, перпендикулярный искомой плоскости. Тогда · = 0 и · = 0 , или

Умножим обе части второго уравнение на -2 и результат сложим почленно с первым. Получим уравнение 3a - 3b = 0 . Положим a = b = 1 . Тогда c = a + 2b = 3 . Через точку A проведём плоскость, перпендикулярную вектору = (1;1;3) :
x + 3 + y + 3(z - 1) = 0, илиx + y + 3z = 0.

Ответ

x + y + 3z = 0 .

Источники и прецеденты использования