Выбрана 1 задача 
Убрать все задачи
Числовая последовательность A1, A2, ..., An, ... определена равенствами A1 = 1, A2 = – 1, An = – An–1 – 2An–2 (n ≥ 3).
Докажите, что при любом натуральном n число является полным квадратом.
|
|
 |
Условие
Шахматная фигура может сдвигаться на 8 или 9 клеток по горизонтали или вертикали. Запрещается ходить на одну и ту же клетку дважды.
Какое наибольшее количество клеток может обойти эта фигура на доске 15×15? (Начать обход разрешается с любой клетки.)
Решение
В центральную клетку нельзя попасть ни с какой другой. В клетки центральной вертикали (горизонтали) можно попасть только с клеток этой вертикали. И наоборот, начав с такой клетки, фигура не покинет центральную вертикаль, то есть обойдёт не более 14 клеток.
Оставшиеся 225 – 29 = 196 клеток обойти можно. Заметим, что за 13 ходов по вертикали можно обойти все её клетки (кроме средней), если начать на одной из соседних со средней клеток, а закончить на другой. Чтобы обойти 196 клеток, стартуем с клетки, соседней по диагонали с центральной, обходим за 13 ходов вертикаль, делаем ход по горизонтали, обходим за 13 ходов новую вертикаль, и т. д. Нетрудно видеть, что за 13 ходов по горизонтали фигура побывает на всех вертикалях (они чередуются так же, как и клетки), кроме центральной, и каждый раз будет уходить и приходить на вертикаль через клетку, соседнюю со средней.
Ответ
196 клеток.
Замечания
4 балла
