Версия для печати
Убрать все задачи

---

Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавив к двум его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9, либо вычтя из соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0. Можно ли с помощью таких операций из числа 1234 получить число 2002?

   Решение

---

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что  A₁C·BC = B₁C·AC.

   Решение

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Параллелограмм ABCD таков, что  ∠B < 90°  и  AB < BC.  Точки E и F выбраны на описанной окружности ω треугольника ABC так, что касательные к ω в этих точках проходят через точку D. Оказалось, что  ∠EDA = ∠FDC.  Найдите угол ABC.

Решение

  Пусть l – биссектриса угла EDF. Поскольку DE и DF – касательные, прямая l проходит через центр O окружности ω.

  Совершим симметрию относительно l. Так как  ∠EDA = ∠FDC,  луч DC перейдёт в луч DA. Поскольку l проходит через O, окружность ω перейдёт в себя; значит, точка C переходит в точку C', лежащую на DA и на ω. При этом, так как  AD ≠ DC,  точки C' и A различны.
  Из той же симметрии имеем  ∠DCC' = ∠DC'C.  Так как точки A, B, C и C' лежат на ω, то  ∠DC'C = ∠ABC = ∠ADC.  Итак, все три угла треугольника DCC' равны, откуда  ∠ABC = ∠CDC' = 60°.

Ответ

60°

Замечания

Ср. с задачей 65243.

Источники и прецеденты использования