Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по точке и провести из этой точки направленный перпендикулярно соответствующей грани во внешнюю сторону вектор, длина которого равна площади этой грани, то сумма всех таких векторов окажется равна нулю. Докажите это.

   Решение

Темы:    [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Четность и нечетность ] [ Комбинаторная геометрия (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Мортеза отметил на плоскости шесть точек и нашел площади всех 20 треугольников с вершинами в этих точках. Может ли оказаться, что все полученные числа целые, а их сумма равна 2019?

Решение

Рассмотрим любые четыре из отмеченных точек. Если они образуют выпуклый четырехугольник $ABCD$, то $S_{ABC}+S_{ACD}=S_{ABD}+S_{BCD}$. Если же одна из точек лежит внутри треугольника, образованного тремя другими, то площадь этого треугольника равна сумме площадей трех внутренних. Таким образом, в любом случае сумма площадей четырех треугольников с вершинами в рассматриваемых точках будет четной. Если просуммировать такие суммы по всем четверкам, то площадь каждого треугольника будет посчитана трижды, следовательно, сумма площадей всех 20 треугольников также четна.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования