Коля и Петя делят 2n + 1 орехов, n2, причём каждый хочет получать возможно больше. Предполагаются три способа дележа (каждый проходит в три этапа). 1-й этап: Петя делит все орехи на две части, в каждой не меньше двух орехов. 2-й этап: Коля делит каждую часть снова на две, в каждой не меньше одного ореха. 1-й и 2-й этапы общие для всех трёх способов. 3-й этап: При первом способе Коля берёт большую и меньшую части; При втором способе Коля берёт обе средние части; При третьем способе Коля берёт либо большую и меньшую части, либо обе средние части, но за право выбора отдаёт Пете один орех. Определить, какой способ самый выгодный для Коли и какой наименее выгоден для него.

   Решение

Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC угол C равен 60°, H – точка пересечения высот. Окружность с центром H и радиусом HC второй раз пересекает прямые CA и CB в точках M и N соответственно. Докажите, что прямые AN и BM параллельны (или совпадают).

Решение

Прямая CB и проведённая окружность симметричны относительно высоты AH. Значит, и их общие точки C и N симметричны. Поэтому в треугольнике ACN два угла по 60°, то есть он равносторонний. Аналогично треугольник BCM равносторонний. Следовательно,  AN || BM  (ввиду равенства углов CAN и CMB).

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования