Выбрана 1 задача 
Убрать все задачи
CM и BN – медианы треугольника ABC, P и Q – такие точки соответственно на AB и AC, что биссектриса угла C треугольника одновременно является биссектрисой угла MCP, а биссектриса угла B – биссектрисой угла NBQ. Оказалось, что AP = AQ. Следует ли из этого, что треугольник ABC равнобедренный?
|
|
 |
Условие
Обозначим через d(N) число делителей N (числа 1 и N также считаются делителями). Найти все такие N, что число P = – простое.
Решение
Пусть – разложение N на простые множители. Без ограничения общности можно считать, что P = p1. Тогда
d(N) = (k1 + 1)(k2 + 1)...(ks + 1) и Нетрудно проверить, что
если p > 3, k ≥ 2, то > p, а если p = 3, k = 2, то
= p;
если p = 3, k > 2, то > p;
если p ≥ 2, то ≥ 1, причём если p > 2 или k > 1, то неравенство строгое;
если p = 2, k ≥ 4, то > p.
Рассмотрим два варианта.
1) N делится на , то есть k1 ≥ 2. В силу приведённых неравенств
не больше p1 только при p1 = 3, k1 = 2 или p1 = 2, k1 = 2 или 3.
В первом случае в произведении уже есть сомножитель, равный p1, значит, все остальные сомножители равны единице. Следовательно, либо N = 9, либо N = 2·9 = 18.
Во втором случае, если k1 = 3, то = 2, а значит, N = 8. Если k1 = 2, то
= 4/3. В знаменателе появилась тройка. Следовательно, N кратно 3. Число N = 3·2² подходит, и поскольку
> 1,5 при k > 1, то в большей степени тройка в разложение N входить не может.
Итак, в этом варианте подходят только числа N = 8, 9, 12 и 18.
2) k1 = 1. Тогда первый множитель равен p1/2. Следовательно, произведение остальных множителей равно 2. Если число N имеет простой делитель, не меньший 5, то соответствующий ему множитель больше 2, что невозможно. Следовательно, N = p·2s³r и при этом r ≤ 1 (иначе > 2) и s ≤ 3 (иначе
> 2). Перебрав все эти варианты, получаем, что подходят числа N = 24, 8p, 12p, 18p.
Ответ
8, 9, 12, 18, 24, 8p, 12p, 18p, где p – произвольное простое число, большее 3.
