Каждый из 1994 депутатов парламента дал пощечину ровно одному своему коллеге. Докажите, что можно составить парламентскую комиссию из 665 человек, члены которой не выясняли отношений между собой указанным выше способом.

   Решение

Темы:    [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны три (одинаково ориентированных) квадрата: ABCD, AB₁C₁D₁ и  A₂B₂CD₂; первый квадрат имеет с двумя другими общие вершины A и C. Докажите, что медиана BM треугольника BB₁B₂ перпендикулярна отрезку D₁D₂.

Решение

Пусть R — поворот на 90^o, переводящий вектор в  . Пусть, далее, = a, = b и  = c. Тогда = Ra, = Rb и  = Rc. Поэтому = Rb - a + Ra + Rc и  2 = a + b + Ra + c. Следовательно, R(2) = , так как R(Ra) = - a.

Источники и прецеденты использования