Версия для печати
Убрать все задачи

---

На сторонах  AB, BC, CA правильного треугольника ABC взяты точки P, Q, R так, что  AP : PB = BQ : QC = CR : RA = 2 : 1.
Докажите, что стороны треугольника PQR перпендикулярны сторонам треугольника ABC.

   Решение

Темы:    [ Многочлены (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что многочлен вида  x²⁰⁰y²⁰⁰ + 1  нельзя представить в виде произведения многочленов от одного только x и одного только y.

Решение

Предположим, что существуют многочлены  f(x) = a₀xⁿ + a₁x^n–1 + ... + a_n  и  g(y) = b₀y^m + b₁y^m–1 + ... + b_m,  для которых  f(x)g(y) = x²⁰⁰y²⁰⁰ + 1. Положив
x = 0,  получим   a_ng(y) = 1,  то есть  g(y) = ¹/_an  при всех y. Положив  y = 0,  аналогично получим, что  f(x) = ¹/_bm  при всех x. Таким образом,  f(x)g(y) = ¹/_anbm  – константа, а функция  x²⁰⁰y²⁰⁰ + 1,  очевидно, не является константой.

Источники и прецеденты использования