Можно ли расставить по кругу числа 1, 2, ..., 60 в таком порядке, чтобы сумма каждых двух чисел, между которыми находится одно число, делилась на 2, сумма каждых двух чисел, между которыми находятся два числа, делилась на 3, сумма каждых двух чисел, между которыми находятся шесть чисел, делилась на 7?

   Решение

Темы:    [ Метод координат на плоскости ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В плоскости дан треугольник A₁A₂A₃ и прямая l вне его, образующая с продолжением сторон треугольника A₁A₂, A₂A₃, A₃A₁ соответственно углы α₃, α₁, α₂.  Через точки A₁, A₂, A₃ проводятся прямые, образующие с l соответственно углы  π – α₁,  π – α₂,  π – α₃. Доказать, что эти прямые пересекаются в одной точке. Все углы отсчитываются от прямой l в одном направлении.

Решение

  Введём на плоскости систему координат, выбрав прямую l в качестве оси x. Пусть  (a₁, b₁),  (a₂, b₂),  (a₃, b₃)  – координаты вершин A₁, A₁, A₃. Прямая A₂A₃ задаётся уравнением   = .   Прямая, проведённая через вершину A₁, задаётся уравнением, в котором отношение коэффициентов при x и y то же самое по абсолютной величине, но имеет противоположный знак. Таким образом, эта прямая задаётся уравнением   + = 0.
  Напишем аналогично уравнения прямых, проведённых через вершины A₂ и A₃. Умножим левые части этих уравнений на  (a₃ – a₂)(b₃ – b₂),
(a₁ – a₃)(b₁ – b₃),  (a₂ – a₃)(b₂ – b₃)  соответственно и сложим их. Легко проверить, что указанная сумма тождественно равна нулю. Из этого следует, что что точка пересечения двух прямых принадлежит третьей, то есть все три прямые пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования