Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что точка Микеля для прямых, содержащих его стороны, лежит на отрезке, соединяющем точки пересечения продолжений сторон.

   Решение

В некотором городе на каждом перекрёстке сходятся ровно три улицы. Улицы раскрашены в три цвета так, что на каждом перекрёстке сходятся улицы трёх разных цветов. Из города выходят три дороги. Докажите, что они имеют разные цвета.

   Решение

Тема:    [ Треугольник (построения) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте треугольник ABC по медиане m_c и биссектрисе l_c, если  C = 90^o.

Решение

Пусть продолжение биссектрисы CD пересекает описанную окружность треугольника ABC (с прямым углом C) в точке P, PQ — диаметр описанной окружности, O — ее центр. Тогда  PD : PO = PQ : PC, т. е.  PD ^. PC = 2R² = m_c². Поэтому, проведя к окружности с диаметром CD касательную длиной  m_c, легко построить отрезок длиной PC. Теперь в треугольнике OPC известны длины всех сторон.

Источники и прецеденты использования