Версия для печати
Убрать все задачи

---

Ханойская башня и двоичная система счисления. Рассмотрим два процесса, каждый из которых состоит из 2⁸ - 1 шагов. Первый — это процесс решения головоломки ``Ханойская башня'' (смотри задачу 1.42) при помощи оптимального алгоритма. Второй — это процесс прибавления единицы, который начинается с 0 и заканчивается числом 2⁸ - 1. Опишите связь между этими двумя процессами.

   Решение

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что четыре проекции точки пересечения диагоналей на стороны четырёхугольника лежат на одной окружности.

Подсказка

Точка пересечения диагоналей, её проекции на соседние стороны и общая точка этих сторон лежат на одной окружности.

Решение

Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD; M, N, P, Q — проекции точки O на AB, BC, CD и AD. Тогда

(т.к. точки M и Q лежат на окружности с диаметром AO, а точки P и Q — на окружности с диаметром OD). Аналогично OMN + OPN = 90^o. Поэтому

Следовательно, четырёхугольник MNPQ — вписанный.

Источники и прецеденты использования